1.7 AC波形的RMS电压

交流波形或交流（AC）波形与交流电流相关，是一种周期性波形，其值在正负之间交替变化。正弦波或正弦波形是最常用的随时间变化的波形，用于表示交流波形。

在直流电（DC）中，电压和电流的值通常随时间保持稳定。很容易表示电压或电流的大小，即电路中任何部分存在多少电压或电流。

在交流电（AC）中，与直流电不同，它们不能通过一个单一的大小来描述，因为交流波形的振幅是随时间连续变化的。

有许多方法可以表示交流波形的大小。其中一些方法包括：

• 瞬时值
• 峰值
• 峰-峰值
• 平均值
• 均方根（RMS）值

在前面的部分中，我们已经讨论了交流波形的平均电压值和瞬时值。在这里，我们将描述关于交流波形的另一个重要主题：交流波形的均方根（RMS）电压。

交流波形的均方根（RMS）电压

RMS 代表“均方根”值。RMS 电压被定义为“波形中所有瞬时电压平方的平均值的平方根”。可以通过以下步骤找到 RMS 值：将输入值平方，然后计算平均值。

这给出了平均功率。为了计算电压，取之前获得的平均值的平方根。因此，它被称为均方根电压。

RMS 值用于获得交流电的直流等效值，即当将这些值应用于电阻时，会散发相同热量的直流值。最大值为 1.4 安培的交流电通过电阻产生的热量与 1 安培的直流电相同。

因此，RMS 值有时也被称为等效值或直流等效值。交流电的电压或电流的 RMS 测量是关联交流和直流量的最佳方式。

RMS 值也被称为“有效值”，这是交流信号产生的功率与直流值（电流或电压）相同的等效值。

通常，市电电压实际上是 RMS 值。例如，在印度，供电电压在 220-240 伏之间。这实际上是交流电的 RMS 值，相当于产生与 220-240 伏直流电相同功率的值。

RMS 仅用于指代交流波形，即随时间变化的正弦波形，如交流电压、交流电流或其他复杂波形，其中大小随时间变化。RMS 不适用于直流电路，因为其大小随时间恒定。

寻找 RMS 电压的过程与寻找平均电压值的过程非常相似。有两种方法可以找到波形的 RMS 电压。它们是：图解法和解析法。

交流波形的 RMS 电压图解法

在该方法中，我们将使用交流波形的中点或瞬时电压值来找到 RMS 电压值。

RMS 值的清晰推导涉及以下多个步骤：

步骤 1

在每个交流波形中，我们有许多瞬时电压，瞬时电压的数量取决于时间间隔。例如，如果波形被分成 $n$ 个中点，那么在时间 $t = 2$ 的瞬间，交流波形的瞬时电压为 $V_2$。

同样，在时间 $t = n$ 的瞬间，瞬时电压为 $V_{an}$ 等等。因此，我们首先找到周期性波形每个瞬间的瞬时电压值，如 $V_1, V_2, V_3$ 和 $V_n$。

为了找到波形的 RMS 电压，我们需要找到交流波形每个电压值的平方值。这给出了 RMS 的“平方”部分。

$V_1^2 + V_2^2 + V_3^2 + V_4^2 + \ldots$

步骤 2

找到电压值平方和的平均值或均值。我们将平方和除以中点的数量。这给出了 RMS 的“均值”部分。

通过平均交流波形的所有电压值，我们将得到 RMS 电压的最准确值。通常，在所有数学近似中，我们建立平均值以排除错误值，并确定计算的最精确值。

如果我们有 $n$ 个瞬间的 $V_n$ 个电压值，平均值按以下方式计算。

该值的平方根给出了交流波形的 RMS 值。计算 RMS 电压值的公式如下所示。

其中 $n$ 是瞬间的数量，

$V_1, V_2, V_3, V_4, \ldots$ 是波形的瞬时电压值。

示例

如果我们有一个最大振幅为 20 伏特的交流波形，让我们找到它的 RMS 电压。

我们将波形分成 10 个中点值，如下所示。

因此，20V 峰值的交流波形的 RMS 电压为 14.15 伏特。

图解法是一种非常有效的方法，用于找到包括复杂波形在内的所有类型波形的 RMS 值。

解析法

另一种用于寻找周期性交流波形的 RMS 电压（或电流）的方法是解析法或数学法。这种方法适用于正弦波形。

在该方法中，我们将通过分析交流波形曲线下的面积来计算 RMS 电压。当处理纯正弦波形时，这种方法比图解法更容易。

具有时间周期 $T$ 的周期性正弦波信号由以下表达式给出：

$V(t) = V_m \cos(\omega t)$

其中 $\omega = \frac{2\pi}{T}$。

RMS 电压可以计算为：

$V_{\text{RMS}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T V_m^2 \cos^2(\omega t) \, dt}$

对于波形的一个完整周期或周期，积分的上下限为 0 到 $360^\circ$。因此，通过从下限到上限进行积分，我们得到：

通过将复杂方程除以 $\omega = \frac{2\pi}{T}$，可以进一步简化该方程。然后，RMS 电压的简化方程为:

$V_{\text{RMS}} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} = V_m \times 0.707$

RMS 电压方程

RMS 电压是通过使用波形的其他电压值（如峰值电压、峰-峰值电压和平均电压）来计算的。

以峰值电压为例：

交流波形的 RMS 电压是峰值电压的 0.707 倍或 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍。可以通过将峰值电压除以 $\sqrt{2}$（约为 0.707）来计算 RMS 值。

$V_{\text{RMS}} = V_{\text{PEAK}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = V_{\text{PEAK}} \times 0.707$

以峰-峰值电压为例：

可以通过将峰-峰值电压乘以 $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ 或 0.35355 来计算 RMS 电压值。峰-峰值电压表示为 $V_{P-P}$。

$V_{\text{RMS}} = V_{P-P} \times \frac{1}{2\sqrt{2}} = V_{P-P} \times 0.353$

以平均电压为例：

交流波形的 RMS 电压是平均电压值的 1.1107 倍。

$V_{\text{RMS}} = V_{\text{AVG}} \times \frac{\pi}{2\sqrt{2}} = V_{\text{AVG}} \times 1.1107$

RMS 值的重要性

在交流电中，电流的大小以 RMS 值的形式表示。

通常，我们说家庭供电电压约为 220 伏交流电。这实际上意味着家庭供电的 RMS 电压为 220 伏。

RMS 值给出了交流波形的直流等效值。

所有测量设备，如安培表和伏特表，仅测量 RMS 值。在一些昂贵的伏特表中，首先计算峰值电压，然后乘以 0.707，以最准确地得到 RMS 电压值。

RMS 值用于找到交流波形的波峰因数和波形因数，这些是决定系统性能的关键因素。

表征交流波形（如正弦波形）幅值的三个重要参数是均方根值（RMS）、峰值和平均值。这三个参数相互关联。

除了这三个基本量之外，还有一些常用的比例关系是基于这三个基本测量值定义的，它们是波形因数（Form Factor）和峰值因数（Crest Factor）。

波形因数（Form Factor）

“波形因数是交流波形的均方根电压值与其平均电压值的比值。”
波形因数用 $K_f$ 表示。

$\text{波形因数} = \frac{\text{均方根电压}}{\text{平均电压}}$
$K_f = \frac{V_{\text{RMS}}}{V_{\text{AVG}}}$

根据正弦交流波形的平均电压值与均方根值之间的关系，可以计算波形因数为：

$K_f = \frac{0.707 V_{\text{MAX}}}{0.637 V_{\text{MAX}}} = 1.11$

峰值因数（Crest Factor）

“峰值因数是峰值电压与均方根电压的比值。”我们也将其称为“峰值因数”或“振幅因数”。

峰值因数用 $K_P$ 表示。

$\text{峰值因数} = \frac{\text{峰值电压}}{\text{均方根电压}}$ $K_P = \frac{V_{\text{PEAK}} \text{（或 } V_{\text{MAX}} \text{）}}{V_{\text{RMS}}}$

根据峰值与均方根值之间的关系，可以计算峰值因数为：

$K_P = \frac{V_{\text{MAX}}}{0.707 V_{\text{MAX}}} = 1.414$

总结

• 以某一轴为参考周期性交替变化的波形称为“交流波形”或“交变波形”。
• 均方根电压（RMS）是指“瞬时电压平方的平均值的平方根”。均方根值是表示时变波形的标准方式，因为它给出了直流等效值。
• 测量交流电流和电压的标准方法是表示其均方根值。
• 计算波形的均方根电压有两种方法，分别是图解法和解析法。
• 图解法计算均方根电压的公式为：

• 解析法计算均方根电压的公式为：
  

  $V_{\text{RMS}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} V_m^2 \cos^2(\omega t) \, dt}$

• 均方根电压与其他电压值的关系式为：
  

  $V_{\text{RMS}} = V_{\text{peak}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}$

$V_{\text{RMS}} = V_{\text{peak-to-peak}} \times \frac{1}{2\sqrt{2}}$ $V_{\text{RMS}} = V_{\text{avg}} \times \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$

• 我们可以测量交流波形的峰值因数和波形因数，其中峰值因数是峰值与均方根值的比值，波形因数是均方根值与平均值的比值。